8

Induksi Matematika

Tahukah kalian tentang keping domino yang diletakkan secara berjajar? Ketika kita merebahkan domino di urutan pertama, tentu domino di urutan ke-2 akan ikut rebah. Begitupun seterusnya sampai domino di urutan ke-3, ke-4, ke-5, ke-100, ke-1.000, sampai ke-n juga akan ikut rebah. Efek domino ini jika dikaitkan dengan prinsip matematika, erat kaitannya dengan prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Prinsip inilah yang akan kita pakai pada materi Induksi Matematika.

Apa itu Induksi Matematika? Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan. Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif. Di mana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik simpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

  1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
  2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
  3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan persamaan P(k + 1), substitusikan nilai k + 1  ke dalam pernyataan P(k).

Jenis Induksi Matematika

1. Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + cdots + n = frac{1}{2}n(n + 1)

  • Langkah 1

untuk n = 1, maka :

1 = frac{1}{2}n(n + 1)

1 = frac{1}{2}(1)(1 + 1)

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

  • Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

1 + 2 + 3 + cdots + k = frac{1}{2}k(k + 1)

  • Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)

Pembuktiannya:

1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)

2. Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa

  • Langkah 1

untuk n = 1, maka:

5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1

=5^2 + 3 - 1

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

  • Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

  • Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1

= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1

= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1

Share this post

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on pinterest
Share on print
Share on email