Mengenal Limit Fungsi Aljabar dan Contohnya

Artikel kali ini akan membahas tentang pengertian limit fungsi aljabar, sifat-sifatnya, beserta contoh soal limit fungsi aljabar.

“Aku hampir saja jatuh dari genteng”. Sering mendengar atau mengucapkan kalimat ini? Tentunya sering ya kita semua menggunakan kalimat-kalimat dengan pola “hampir”. Biasanya kita menggunakan istilah atau konsep hampir saat mendekati kejadian tertentu, misalnya seperti kalimat tadi. Hampir jatuh, artinya belum jatuh namun mendekati kejadian jatuh. Ternyata, bukan hanya di kehidupan sehari-hari, namun di dalam matematika juga ada penggunaan konsep hampir. Kita menyebutnya “limit” dalam dunia matematika. Nah, pada artikel kali ini, kita akan membahas tentang limit. Lebih spesifiknya kita akan membahas seputar limit fungsi aljabar.

Sebelum menyelam lebih dalam, seperti biasa kita harus memahami terlebih dahulu pengertian dari istilahnya sendiri, yaitu limit fungsi aljabar.

Pengertian Limit Fungsi Aljabar

Limit adalah nilai yang hampir dicapai oleh hasil suatu fungsi. Atau kalau boleh sedikit dijabarkan, limit ini merupakan nilai yang menjadi batas dari suatu fungsi yang variabelnya mendekati nilai tertentu. Misalnya seperti bentuk limit berikut.

$\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)=L$

Dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati c adalah L.

Dengan syarat hanya dan hanya jika x ≠ c. Jadi nilai x hanya mendekati a, namun tidak boleh bernilai a itu sendiri.

Sudah semakin bingung dengan adanya penulisan bentuknya? Semoga semakin mendapat pemahaman ya, jangan malah semakin bingung. Untuk semakin memudahkan pemahaman, mari kita amati ilustrasi grafik limit fungsi berikut.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} (x+1)$

Bagaimana? Semoga semakin paham ya.

Bentuk Limit Fungsi

Melihat grafik di atas, kita bisa mendapat informasi tambahan bahwa suatu fungsi bisa memiliki 2 sisi limit. Kita sebut 2 sisi tersebut sebagai limit kiri (x→a^–) dan limit kanan (x→a⁺). Selain itu, ternyata syarat suatu fungsi memiliki limit di titik tertentu adalah saat fungsi tersebut memiliki nilai limit kiri dan limit kanan yang sama.

Mari kita coba buktikan contoh limit fungsi di atas menggunakan metode tabel.

x	1.9	1.99	1.999	…	2	…	2.001	2.01	2.1
f(x)	2.9	2.99	2.999	…	3	…	3.001	3.01	3.1

Berdasarkan tabel di atas, saat kita memasukkan nilai x secara berurutan semakin mendekati 2 dari sisi kiri maupun kanan, hasil limit kiri adalah 3.999 dan limit kanan adalah 4.001. Sebenarnya masih bisa kita masukkan sampai tingkat ketelitian lebih tinggi lagi, namun poinnya adalah, keduanya bermuara mendekati nilai 4. Untuk limit kiri, kita bisa menuliskannya sebagai berikut.

$\displaystyle \lim_{x\to 2^-} (x+1)=3$

Sedangkan untuk limit kanan, kita bisa tuliskan

$\displaystyle \lim_{x\to 2^+} (x+1)=3$

Dari penjabaran ini, kita peroleh bahwa limit kiri maupun kanan bernilai 4. Sehingga kita bisa membuat kesimpulan sebagai berikut.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} (x+1)=3$

Limit fungsi f(x)=(x+1) untuk nilai x mendekati 2 adalah 3.

Berbicara tentang fungsi yang memiliki limit tertentu, tentu saja ada fungsi yang limitnya tidak tentu. Yang seperti apa itu? Kita juga bisa menentukan sebuah fungsi memiliki limit tentu atatu tidak tentu dari nilai limitnya itu sendiri.

Bentuk tentu memiliki nilai limit: $a, \frac{a}{b}, \frac{a}{0}=\infty, \frac{0}{b}=0.$

Bentuk tak tentu memiliki nilai limit: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0^0, \infty^{\infty}.$

Dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan real.

Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar

Selanjutnya, setelah kita paham apa itu limit fungsi aljabar, saatnya melanjutkan pembahasan menuju sifat-sifat dari limit fungsi itu sendiri. Mengapa kita perlu mempelajari sifat-sifatnya juga? Jawabannya adalah untuk memudahkan kita dalam menentukan limit dari soal-soal yang berhubungan dengan limit. Langsung saja, berikut daftar sifat-sifatnya.

Metode Penyelesaian Limit Fungsi

Selain sifat-sifatnya yang bisa membentu kita untuk menyelesaikan soal-soal, ada juga metode umum yang bisa kita pakai untuk menyelesaikan soal. Umumnya ada 3 metode dalam penyelesaian soal limit fungsi aljabar. Metode substitusi langsung, metode faktorisasi, dan metode perkalian sekawan. Untuk penjelasan lebih detail, sebagai berikut.

1. Metode Substitusi

Seperti yang kita semua tahu, metode substitusi ini adalah metode dengan memasukkan langsung nilai variabel ke dalam fungsinya. Metode substitusi merupakan metode paling dasar di mana seluruh soal limit fungsi dikerjakan menggunakan metode ini terlebih dahulu. Baru setelah tidak didapatkan hasil yang valid (tidak tentu), kita gunakan metode lain.

Contoh soal: Tentukan limit dari fungsi berikut.

1. $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2+1}{3x}$
2. $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1}$

Jawaban:

1. $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2+1}{3x}=\frac{4+1}{6}=\frac{5}{6}$
Hasilnya bentuk tentu $\textstyle \frac{5}{6},$ artinya $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2+1}{3x}=\frac{5}{6}$
2. $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$
Hasilnya bentuk tak tentu $\frac{0}{0},$ sehingga fungsinya harus diproses menggunakan metode yang lain.

2. Metode Pemfaktoran

Metode ini adalah metode yang bisa kita gunakan saat metode substitusi memperoleh hasil bentuk tak tentu. Pemfaktoran yang dimaksud adalah pemfaktoran yang telah dipelajari di saat SMP dulu. Bentuk-bentuk yang sering digunakan sebagai berikut:

Pemfaktoran kuadrat
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Contoh soal:
1. Melanjutkan dari soal substitusi dengan hasil tak tentu sebelumnya $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1}$
2. $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

Jawaban:

1. Hasil setelah substitusi adalah $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu)
$\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1^3)}{(x-1)}=3$
Jadi, $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1}=3$
2. Hasil setelah substitusi adalah $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu)
$\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)}=3+3=6$
Jadi, $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}=6$

3. Metode Perkalian Sekawan

Sama halnya dengan metode pemfaktoran, metode ini bisa kita gunakan di saat metode substitusi mendapatkan hasil bentuk tak tentu. Bedanya, metode ini khusus untuk soal limit dengan fungsi berbentuk akar. Caranya tinggal kalikan fungsinya dengan bentuk sekawannya. Berikut bentuk sekawan dari beberapa fungsi.

$\sqrt{x+1}$ bentuk sekawannya adalah $\sqrt{x+1}$ maka kalikan fungsinya dengan $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}$

$a\sqrt{x}+b\sqrt{c}$ bentuk sekawannya adalah $a\sqrt{x}-b\sqrt{c}$ maka kalikan fungsinya dengan $\frac{a\sqrt{x}-b\sqrt{c}}{a\sqrt{x}-b\sqrt{c}}$

$a\sqrt{x}+b$ bentuk sekawannya adalah $a\sqrt{x}-b$ maka kalikan fungsinya dengan $\frac{a\sqrt{x}-b}{a\sqrt{x}-b}$

Contoh soal: Tentukan limit dari fungsi berikut.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{3x}-3}{x-3}$
Jawaban:
Hasil substitusinya adalah $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu)
$\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{3x}-3}{x-3} = \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{3x}-3}{x-3} \times \frac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3}$

$= \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{3x-3^2}{(x-3)(\sqrt{3x}+3)}$

$= \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt{3x}+3)}$

$= \displaystyle \frac{3}{3+3}$

$= \displaystyle \frac{1}{3}$

Sekian pembahasan limit fungsi aljabar yang meliputi pengertian dan sifat limit fungsi aljabar, serta contoh soal yang disertai pembahasannya. Selamat belajar.

Jangan lupa kunjungi instagram kami di @yc_angga untuk mendapatkan konten-konten menarik seputar matematika.