Hello! (2)

Teorema Sisa dan Teorema Faktor dalam Suku Banyak

Berbicara tentang teorema sisa dan teorema faktor, tentu saja kita akan membicarakan hal-hal yang ada dalam cakupan suku banyak atau polinomial. Kalian juga bisa mengulik kembali terkait polinomial di artikel sebelumnya Polinomial (Suku Banyak): Rumus dan Contoh Soal. Sebenarnya dalam artikel sebelumnya juga sudah sedikit dibahas terkait teorema sisa, namun di sini kita akan membahasnya lebih dalam lagi.

Sesuai dengan judul artikelnya, kita akan fokus membahas bukan hanya teorema sisa, tapi juga teorema faktor.

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema Sisa

Teorema sisa ini kita gunakan untuk menentukan sisa dari pembagian suku banyak tanpa mengetahui hasil dari pembagiannya. Berikut bentuk umumnya.

Misalkan ada suku banyak F(x) dibagi dengan P(x), maka hasilnya adalah H(x) dan sisanya adalah S(x), maka hubungannya akan menjadi.

Bentuk dasar teorema sisa suku banyak

Nah, selain memiliki bentuk umum, terdapat 3 dalil utama dalam teorema sisa. Berikut penjelasannya masing-masing.

1. Teorema Sisa 1

Jika terdapat polinomial F(x) dibagi dengan (x – k), maka sisanya adalah F(k). Bisa juga kita tulis sebagai berikut.

\displaystyle \centering \frac{f(x)}{(x-k)} \rightarrow \textrm{Sisa} = f(k)

Berdasarkan teorema sisa 1, maka cara untuk mencari sisanya adalah dengan substitusi pembaginya ke dalam suku banyaknya. Karena dalam bentuk (x – k) pembuat 0 adalah k,

x – k = 0
x = k

maka nilai k langsung kita substitusikan ke dalam F(x). Berikut contoh penerapannya agar lebih jelas.

Contoh soal dan pembahasan teorema sisa 1.

Tentukan sisa pembagian f(x) = 3x3 – 5x2 + x + 6 dengan (x + 2)!

Jawab:

(x + 2) = 0
x = -2

Substitusikan -2 ke f(x)

f(-2) = 3(-2)3 – 5(-2)2 + (-2) + 6
= 3(-8) – 5(4) + 4
= -40

Jadi, tanpa kita harus mengetahui dulu hasil pembagiannya, kita pastikan sisa pembagian di atas adalah -40.

Baca juga: Polinomial (Suku Banyak): Rumus dan Contoh Soal

2. Teorema Sisa 2

Jika terdapat polinomial F(x) dibagi dengan (ax + b), maka sisanya adalah F(-b/a). Bisa juga kita tulis sebagai berikut.

\displaystyle \frac{f(x)}{(ax+b)} \rightarrow \textrm{Sisa} = f(-\frac{a}{b})

Berdasarkan teorema sisa 2 ini, pembuat 0 nya adalah -b/a.

(ax + b) = 0
x = -b/a

Sehingga, sama seperti pada teorema pertama, kita substitusikan nilai x ke dalam suku banyak f(x). Berikut contoh sisa pembagian polinomial dengan (ax + b).

Tentukan sisa pembagian f(x) = 3x3 – 5x2 + x + 6 dengan (2x + 5)!

Jawab:

(2x + 5) = 0
x = -5/2

Substitusikan (-5/2) ke dalam f(x)

f(-5/2) = 3(-5/2)3 – 5(-5/2)2 + (-5/2) + 6
= 3(-125/8) – 5(25/4) + (-5/2) + 6
= (-375/8) – 250/8 – 20/8 + 48/8
= 592/8
= 74

Jadi, sisa pembagian f(x) = 3x3 – 5x2 + x + 6 dengan (2x + 5) adalah 74.

2. Teorema Sisa 3

Jika terdapat polinomial F(x) dibagi dengan (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q. Bisa juga kita tulis sebagai berikut.

\displaystyle \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \textrm{Sisa} = f(a) \textrm{ dan Sisa} = f(b)

Pada teorema ketiga ini agak berbeda dengan 2 sebelumnya karena pembuat 0 nya ada 2.

(x – a)(x – b) = 0
x = a atau x = b

Cara pengerjaannya juga sedikit berbeda, membutuhkan sedikit tambahan langkah dari sebelumnya. Untuk lebih jelasnya langsung saja menuju contoh.

Tentukan sisa pembagian f(x) = 2x3 – x2 + x + 3 dengan x2 + 3x + 2!

Jawab:

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)
x = -2 atau x = -1

Sekarang substitusikan sesuai dengan teorema ketiga.

f(a) = pa + q
2(-2)3 – (-2)2 + (-2) + 3 = p(-2) + q
-16 – 4 – 2 + 3 = -2p + q
-2p + q = -19 . . . . (1)

f(b) = pb + q
2(-1)3 – (-1)2 + (-1) + 3 = p(-1) + q
-2 – 1 – 1 + 3 = -p + q
-p + q = -1 . . . . (2)

Lakukan eliminasi kedua persamaan yang diperoleh.

Berdasarkan nilai p dan q, maka

px + q = 18x + 17

Sehingga, diperoleh kesimpulan

sisa = 18x + 17

Teorema Faktor

Setelah memahami teorema sisa, sekarang kita beranjak ke teorema faktor. Teorema faktor sendiri adalah logika yang membantu kita untuk menentukan bahwa suatu pembagi merupakan faktor dari suatu polinomial atau bukan, dengan syarat sisa pembagiannya adalah 0.

Jika polinomial f(x) dibagi dengan (x – k) sisanya 0, maka pembagi (x – k) adalah faktor dari polinomial tersebut.

Teorema sisa yang kita pelajari sebelumnya akan berperan dalam penentuan apakah sisa pembagian bernilai 0 atau tidak. Ingat, untuk suatu pembagi menjadi faktor dari suku banyak, syaratnya jika dan hanya jika sisa pembagiannya 0 (nol). Jika bukan 0, maka pembagi bukanlah faktor dari suku banyak yang dimaksud.

Berikut contoh penggunaannya.

1. Tunjukkan jika (x + 3) merupakan faktor dari suku banyak f(x) = x3 + 6x2 + 13x + 12

Jawab:

Pembaginya adalah (x + 3) yang merupakan bentuk (x + k), jadi kita akan menggunakan teorema sisa 1.

(x + 3) = 0
x = -3

Substitusikan (-3) ke dalam f(x).

f(-3) = (-3)3 + 6(-3)2 + 13(-3) + 12
= -27 + 54 – 39 + 12
= 0

Karena sisanya 0, maka terbukti bahwa (x + 3) merupakan faktor dari f(x).

2. Tentukan nilai p sehingga pecahan berikut dapat disederhanakan!

\displaystyle \frac{x^3+px^2+11x-6}{(x^2-5x+6)}

Agar suatu pecahan dapat disederhanakan, maka antara penyebut (x2 – 5x + 6) dan pembilang (x3 + px2 + 11x – 6) harus memiliki faktor yang sama.

Faktor dari penyebutnya adalah (x – 3) dan (x – 2) yang sekaligus faktor dari pembilangnya.
x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)

Sekarang mari kita gunakan teorema sisa pertama untuk bentuk pembagi (x – k). Substitusikan kedua faktor di atas ke pembilangnya satu per satu.

#Faktor pertama (x – 3), x = 3
f(3) = 0
(3)3 + p(3)2 + 11(3) – 6 = 0
27 + 9p + 33 – 6 = 0
9p = -54
p = -6

#Faktor kedua (x – 2), x = 2
f(2) = 0
(2)3 + p(2)2 + 11(2) – 6 = 0
8 + 4p + 22 – 6 = 0
4p = -24
p = -6

Karena kedua faktor menghasilkan nilai p yang sama, maka dapat disimpulkan bahwa nilai p yang memenuhi syarat agar pecahan di atas dapat disederhanakan adalah -6.

Sekian dulu untuk pembahasan teorema sisa dan teorema faktor. Semoga bermanfaat untuk kalian yang membaca. Matematika sungguh menyenangkan bukan~~

Jangan lupa kunjungi instagram kami di @yc_angga untuk mendapatkan konten-konten menarik seputar matematika.

Share this post

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on pinterest
Share on print
Share on email